数学公式

　微分法（高校範囲）

平均変化率

関数$f(x)$で$x$の値が$a\to a+h$と変化したときの変化率
$$\strut \dfrac{\,f(a+h)-f(a)\,}{h}$$

微分係数

関数 $f(x)$の$x=a$における接線の傾き
$$f^{\prime }(a)=\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{\,f(a+h)-f(a)\,}{h}$$

導関数

関数 $y=f(x)$の$x$における微分係数を関数として表したもの
$$\dfrac{\,dy\,}{\,dx\,}=\displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{\,f(x+h)-f(x)\,}{h}$$

合成関数の微分

$x$が$t$の関数であるとき、$x$の関数$y$の$t$による導関数は
$$\dfrac{\,dy\,}{dt}=\dfrac{\,dy\,}{\,dx\,}\cdot \dfrac{\,dx\,}{dt}$$

　ベクトル解析（大学教養課程）

偏微分(偏導関数)

$\dfrac{\,\partial f\,}{\partial x}$：  ２変数関数 $z=f(x,y)$ において $x$ のみで微分した導関数

$\dfrac{\,\partial f\,}{\partial y}$：  ２変数関数 $z=f(x,y)$ において $y$ のみで微分した導関数

２階偏微分(２階偏導関数)

$\dfrac{\,\partial ^{2}f\,}{\partial x^{2}}$：  ２変数関数 $z=f(x,y)$ において $x$ のみで２回微分した導関数

$\dfrac{\,\partial ^{2}f\,}{\,\partial x\partial y\,}$：  ２変数関数 $z=f(x,y)$ において $x$ と $y$ で１回ずつ微分した導関数

なお、２変数に対して交換法則が成り立つ：  $$\dfrac{\,\partial ^{2}f\,}{\,\partial x\partial y\,}=\dfrac{\,\partial ^{2}f\,}{\,\partial y\partial x\,}$$
$\dfrac{\,\partial ^{2}f\,}{\partial y^{2}}$：  ２変数関数 $z=f(x,y)$ において $y$ のみで２回微分した導関数

勾配(gradient)

３変数のスカラー場 $f(x,y,z)$ をそれぞれの変数で偏微分したものを成分とするベクトルを勾配(gradient)という．
$$\mathrm{grad}\,f= \nabla f={\bf i} \dfrac{\partial f}{\,\partial x\,}+{\bf j}\dfrac{\partial f}{\,\partial y\,}+{\bf k}\dfrac{\partial f}{\,\partial z\,}$$
ここで、 $\nabla$ (nabla)は $x$ 方向の単位ベクトル $\bf i$ 、 $y$ 方向の単位ベクトル  $\bf j$ 、 $z$ 方向の単位ベクトル $\bf k$ を用いて、次式で与えられるベクトルである．
$$\nabla ={\bf i} \dfrac{\partial }{\,\partial x\,}+{\bf j}\dfrac{\partial }{\,\partial y\,}+{\bf k}\dfrac{\partial }{\,\partial z\,}$$

発散(divergence)

$R^{3}$ で定義されたベクトル場 $\,{\bf F}\,(F_{x},F_{y},F_{z})$ における各成分をそれぞれ対応する変数で偏微分したものの和を発散(divergence)という．
$$\mathrm{div}\,{\bf F}=\nabla \cdot {\bf F}= \dfrac{\,\partial \,F_{x}\,}{\partial x}+\dfrac{\,\partial \,F_{y}\,}{\partial y}+\dfrac{\,\partial \,F_{z}\,}{\partial z}$$
発散はベクトル $\nabla$ とベクトル $\,{\bf F}\,$ の内積であると考えることができるので、スカラーとなる．

回転(rotation)

同様にして、ベクトル $\nabla$ とベクトル $\,{\bf F}\,(F_{x},F_{y},F_{z})$ の外積を考え、これを回転(rotation)という．

$\mathrm{rot}\,{\bf F}=\nabla \times {\bf F}$

$= \left( \dfrac{\,\partial \,F_{z}\,}{\partial y}-\dfrac{\,\partial \,F_{y}\,}{\partial z}\right) {\bf i}+\left( \dfrac{\,\partial \,F_{x}\,}{\partial z}-\dfrac{\,\partial \,F_{z}\,}{\partial x}\right) {\bf j}+\left( \dfrac{\,\partial \,F_{y}\,}{\partial x}-\dfrac{\,\partial \,F_{x}\,}{\partial y}\right) {\bf k}$